Investigadors de la UPC obtenen per primera vegada solucions per a un fluid capaç de simular qualsevol màquina de Turing

+
Descarregar

Imatge: Creative Commons Attribution 4.0 International, via Wikimedia

+
Descarregar

D'esquerra a dreta i de dalt a baix, els autors del treball: Daniel Peralta, Robert Cardona, Eva Miranda i Francisco Presas

Investigadors del grup de recerca en Geometria de Varietats i Aplicacions (GEOMVAP) de la UPC i de l'Institut de Ciències Matemàtiques del CSIC han aconseguit, per primera vegada, construir solucions per a un fluid capaç de simular qualsevol màquina de Turing. El resultat de la investigació s'ha publicat a la revista 'Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS)'.

06/05/2021

Fa set anys, el medallista Fields Terence Tao, famós per la seva àmplia visió de la investigació matemàtica actual, va proposar un nou enfocament per resoldre el famós problema sobre les equacions de Navier-Stokes, que descriuen el moviment dels fluids. El treball, publicat al blog de Tao, va cridar l'atenció d'Eva Miranda, catedràtica ICREA Acadèmia i investigadora del grup de recerca en Geometria de Varietats i Aplicacions (GEOMVAP) de la Universitat Politècnica de Catalunya · BarcelonaTech (UPC), que en aquells moments estava finalitzant un treball sobre fluids en espais amb frontera, juntament amb els investigadors Daniel Peralta-Salas, de l'Institut de Ciències Matemàtiques del Consell Superior d'Investigacions Científiques (ICMAT-CSIC), i Robert Cardona, estudiant del programa de doctorat en Matemàtica Aplicada de la UPC al GEOMVAP. Ara, els investigadors, també al costat de Francisco Presas (ICMAT-CSIC), han aconseguit, per primera vegada, construir solucions per a un fluid capaç de simular qualsevol màquina de Turing, motivats per l'enfocament de Tao. El resultat s'ha publicat a la revista 'Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS)'.

Una màquina de Turing és una construcció abstracta capaç de simular qualsevol algorisme. Rep, com a dada d'entrada, una seqüència de zeros i uns i, després d'un nombre de passos, retorna un resultat, també en forma de zeros i uns. El fluid estudiat pels investigadors es pot considerar com una màquina d'aigua; pren com a dada d'entrada un punt de l'espai, el processa –seguint la trajectòria de l'fluid per aquest punt– i ofereix com a resultat la següent regió a la qual s'ha desplaçat el fluid. El resultat és un fluid incompressible i sense viscositat les equacions de Navier-Stokes si consideren la viscosidad en dimensió tres. És la primera vegada que s'aconsegueix dissenyar una màquina d'aigua.

Una de les conseqüències principals del resultat és que permet provar que certs fenòmens de la hidrodinàmica són indecidibles. Per exemple, si llancem un missatge dins d'una ampolla no podem assegurar que arribi al seu destinatari. Una cosa semblant els va passar als 29.000 aneguets de goma que van caure d'un vaixell de càrrega durant una tempesta i es van perdre en l'oceà al 1992: ningú va poder predir on apareixerien. És a dir, no hi ha cap algorisme que permeti assegurar si una partícula fluïda passarà per certa regió de l'espai en temps finit. "Aquesta incapacitat de predicció, que és diferent de la que estableix la teoria de caos, suposa una nova manifestació del comportament turbulent dels fluids", afirmen els investigadors.

"A la teoria del caos la impredictibilitat està associada a l'extrema sensibilitat del sistema amb les condicions inicials –l'aleteig d'una papallona pot generar un tornado–. En aquest cas es va més enllà: vam provar que no hi pot haver cap algoritme que resolgui el problema, no és una limitació del nostre coneixement, sinó de la pròpia lògica matemàtica", destaquen Miranda i Peralta-Salas. Això mostra la complexitat del comportament dels fluids, que apareixen en diversos camps, des de la predicció del temps atmosfèric fins a la dinàmica en cabals i cascades.

Pel que fa a la seva relació amb el problema de Navier-Stokes, inclòs a la llista dels Problemes del Mil·lenni de la Fundació Clay, els investigadors són cautelosos. "La proposta de Tao és, de moment, hipotètica", asseguren. La seva idea és fer servir un ordinador d'aigua per forçar el fluid perquè acumuli més i més energia en regions cada vegada més petites, fins que es formi una singularitat, és a dir, un punt en el qual l'energia es faci infinita. L'existència o no de singularitats en les equacions és, precisament, el problema de Navier-Stokes. No obstant, "de moment no se sap fer això per a les equacions d'Euler o Navier-Stokes", afirmen els científics, que han discutit els seus resultats amb Tao.

La màquina d'aigua de Cardona, Miranda, Peralta-Salas i Presas –la primera que existeix– està guiada per les equacions d'Euler, però les seves solucions no tenen singularitats. Per al seu disseny han estat clau diverses eines de geometria, topologia i sistemes dinàmics desenvolupades en els últims 30 anys. En concret, es combina la geometria simplèctica i de contacte i la dinàmica de fluids, amb la teoria de ciències de la computació i la lògica matemàtica. "Ens ha costat més d'un any entendre com connectar els diversos cables de la demostració", conclouen els científics.